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尺规作图的三大几何难题

传说终归是传说，其中常常掺杂着杜撰的情节和虚构的神灵。三大几何难题应是产生于人们对几何问题的研究中。希腊人掌握了二等分一个任意角的方法后，很自然地会去想怎样三等分一个任意角。立方倍积问题也是这样：希腊人知道以正方形的对角线为一条边，可以作一个新的正方形，而新正方形的面积恰好是原正方形面积的两倍，他们进而联想到把立方体加倍，也就是顺理成章的事情了。

当然，如果三大几何难题仅仅像前面那样表述，是不难解决的。比如三等分角问题，用量角器一量，不就轻而易举地解决了吗？三大几何难题之所以难，在于古希腊人对作图工具作了限制，即作图时只准使用直尺和圆规。其实，如果仅仅这样限制，这些题仍然不难。古希腊数学家阿基米德就曾经只用直尺和圆规，解决了三等分角问题。阿基米德的方法是这样的：

假设所要三等分的角是∠ACB。在直尺上取一点，记做点P，令直尺的一端为O；以C为圆心，OP为半径作半圆，分别交∠ACB的两边AC、BC于A、B两点；移动直尺，使直尺上的O点在AC的延长线上移动，P点在圆周上移动，当直尺正好通过B点时，连接OPB，则

但是，阿基米德并没有真正解决三等分角问题，因为他作图时，在直尺上作了标记，实际上使直尺具有了刻度的功能，这违反了古希腊人对作图工具的另一个限制：直尺不能有任何刻度，而且直尺和圆规都只准许使用有限次。

在上述两项规定限制下的几何作图问题，叫尺规作图问题。它鲜明地体现了古希腊几何学的特点：数学家们要求从最少的基本命题，推导出尽可能多的数学结论。为了与这种精神相吻合，古希腊人对作图工具也提出了“少到不能再少”的要求。他们异常强调严密的逻辑结构，这种严谨的治学态度，一直影响着后代的数学家。

三大几何难题虽然题意简单，几乎每个人都能弄懂，但却使许多杰出的数学家也束手无策。因此，这些题具有极大的魅力，吸引着千千万万的人去解答。

两千多年里，一个又一个数学家欣喜若狂地宣称：“我解决了三大几何难题！”可是不久人们就发现，他们或多或少都存在一些无法改正的错误。从他们的失败中，人们逐渐怀疑这些难题是不能用尺规作图法解决的，于是数学家们转而研究这些问题的反面。因为只要能够证明这些几何图形不能用尺规作图的方法作出，也就解决了三大几何难题。

人类的智慧终于获得了胜利。年，旺策尔证明了三等分角和立方倍积问题不能用尺规作图解决。年，数学家林德曼证明了π是超越数，从而证明了化圆为方问题也不能用尺规作图解决。最后，年，德国数学家克莱因在总结前人研究的基础上，给出了几何三大难题不能用尺规作图的简单而清晰的证明，从而使两千多年未得解决的问题告一段落。

最早的作图工具