我们知道：直尺可以测长度；量角器可以测角度。那么，有没有一种仪器，可以测量不规则区域的面积？所谓不规则区域，就是边界“弯弯扭扭”的区域，比如下图红圈中的湖泊：有没有一种“尺”，可以测量这种图形的面积？竟然有。它就是：求积仪（Planimeter）这货长这样：两根棍(arm)，中间用轴(pivot)连接，可自由转动。下端有个滚轮(measuring　wheel)，用来累计滚动了多远。轮子的滚动方向垂直于棍，这一点很重要，稍后解释。使用方法嘛，很简单。比如，测量粉红色矩形区域的面积：只需拽着tracer，用肉眼对准边界线，绕一圈就行：于是，就测出了这个矩形的面积：一格为20cm，5.1格就是cm，而真实值为cm，误差仅为2%。当然，对于不规则图形，操作方法完全一样，绕着边界跑一圈即可：00:10误差为2%左右（这种手工版）。那么，这种神奇的设备，究竟是什么原理呢？数学原理现代意义上的求积仪，是由瑞士数学家JakobAmsler-Laffon于年发明。其原理的数学证明还有点复杂，要用到古尔丁定理（Guldinustheorem）、格林公式等。由于本专栏主要介绍高等数学相关内容，因此，我们在这里仅结合格林公式，作简要介绍。首先，轮子滚动的方向与tracerarm是垂直的：因此，理论上，刻度只会累加垂直于tracerarm方向的运动。那么，假设，我们要测量的轨迹如下图红线所示。考察一下轨迹上的Ａ点，在Ａ点附近，即使tracer运动一小段距离ds，滚轮也不会随着运动。因为，在Ａ点附近，tracer的运动方向与滚轮的滚动方向是垂直的。此时，滚轮的读数不会增加。但是，如果我们考察一下Ｂ点就会发现，Ｂ点附近，tracer的运动方向与滚轮的滚动方向相同。换句话说，在这一“瞬间”，这两个运动方向是平行的。此时，滚轮的读数会增加。为方便讨论，我们记红色的曲线为Γ，曲线Γ上任意一点处的单位切向量为ｔ，而垂直于tracerarm且指向逆时针方向的单位向量为ｎ，如图：则有：点乘很好理解，表示一小段弧ds在n方向的投影。那么，把所有的投影累加起来，就可以用①式曲线积分来表达（曲线积分类似于定积分，表示一种求和运算，这与不定积分是两码事）。因此，这个积分的结果表示：tracer逆时针绕Γ一圈，轮子累计的里程。这还不够，因为我们要求的是曲线围成的面积。正巧，我们还有个格林公式。按照课本上的说法：格林公式可以把对封闭区域的二重积分，转换为沿该区域边界的线积分。得到：②其中，Ω是Γ所包围的区域。不过，②看起来很吓人是不是？没关系，它并非本次讨论的重点，重点是结论很简单：③③的意思是：轮子滚动的距离，就是（正比于）该封闭曲线所围成的面积。意不意外？惊不惊喜？人不人才。

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